3.1. 线性回归¶ Open the notebook in SageMaker Studio Lab
回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。 在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。 常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、 预测需求（零售销量等）。 但不是所有的预测都是回归问题。 在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。
3.1.1. 线性回归的基本元素¶
线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初， 它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。 线性回归基于几个简单的假设： 首先，假设自变量\(\mathbf{x}\)和因变量\(y\)之间的关系是线性的， 即\(y\)可以表示为\(\mathbf{x}\)中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声； 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。
为了解释线性回归，我们举一个实际的例子： 我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。 为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。 这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。 在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set） 或训练集（training set）。 每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample）， 也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。 我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。
通常，我们使用\(n\)来表示数据集中的样本数。 对索引为\(i\)的样本，其输入表示为\(\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top\)， 其对应的标签是\(y^{(i)}\)。
3.1.1.1. 线性模型¶
线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
(3.1.1)中的\(w_{\mathrm{area}}\)和\(w_{\mathrm{age}}\) 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。 \(b\)称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。 偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。 即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。 严格来说， (3.1.1)是输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。
给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重\(\mathbf{w}\)和偏置\(b\)， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。 输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。
而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。 当我们的输入包含\(d\)个特征时，我们将预测结果\(\hat{y}\) （通常使用“尖角”符号表示\(y\)的估计值）表示为：
将所有特征放到向量\(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\)中， 并将所有权重放到向量\(\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d\)中， 我们可以用点积形式来简洁地表达模型：
在 (3.1.3)中， 向量\(\mathbf{x}\)对应于单个数据样本的特征。 用符号表示的矩阵\(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\) 可以很方便地引用我们整个数据集的\(n\)个样本。 其中，\(\mathbf{X}\)的每一行是一个样本，每一列是一种特征。
对于特征集合\(\mathbf{X}\)，预测值\(\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n\) 可以通过矩阵-向量乘法表示为：
这个过程中的求和将使用广播机制 （广播机制在 2.1.3节中有详细介绍）。 给定训练数据特征\(\mathbf{X}\)和对应的已知标签\(\mathbf{y}\)， 线性回归的目标是找到一组权重向量\(\mathbf{w}\)和偏置\(b\)： 当给定从\(\mathbf{X}\)的同分布中取样的新样本特征时， 这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。
虽然我们相信给定\(\mathbf{x}\)预测\(y\)的最佳模型会是线性的， 但我们很难找到一个有\(n\)个样本的真实数据集，其中对于所有的\(1 \leq i \leq n\)，\(y^{(i)}\)完全等于\(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b\)。 无论我们使用什么手段来观察特征\(\mathbf{X}\)和标签\(\mathbf{y}\)， 都可能会出现少量的观测误差。 因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
在开始寻找最好的模型参数（model parameters）\(\mathbf{w}\)和\(b\)之前， 我们还需要两个东西： （1）一种模型质量的度量方式； （2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。
3.1.1.2. 损失函数¶
在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本\(i\)的预测值为\(\hat{y}^{(i)}\)，其相应的真实标签为\(y^{(i)}\)时， 平方误差可以定义为以下公式：
常数\(\frac{1}{2}\)不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。 由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。 为了进一步说明，来看下面的例子。 我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如 图3.1.1所示。
图3.1.1 用线性模型拟合数据。¶
由于平方误差函数中的二次方项， 估计值\(\hat{y}^{(i)}\)和观测值\(y^{(i)}\)之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集\(n\)个样本上的损失均值（也等价于求和）。
在训练模型时，我们希望寻找一组参数（\(\mathbf{w}^*, b^*\)）， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：
3.1.1.3. 解析解¶
线性回归刚好是一个很简单的优化问题。 与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）。 首先，我们将偏置\(b\)合并到参数\(\mathbf{w}\)中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。 我们的预测问题是最小化\(\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2\)。 这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。 将损失关于\(\mathbf{w}\)的导数设为0，得到解析解：
像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。 解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。
3.1.1.4. 随机梯度下降¶
即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。 在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。 因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。
本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量\(\mathcal{B}\)， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数\(\eta\)，并从当前参数的值中减掉。
我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（\(\partial\)表示偏导数）：
总结一下，算法的步骤如下： （1）初始化模型参数的值，如随机初始化； （2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。 对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
公式 (3.1.10)中的\(\mathbf{w}\)和\(\mathbf{x}\)都是向量。 在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如\(w_1, w_2, \ldots, w_d\)）更具可读性。 \(|\mathcal{B}|\)表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 \(\eta\)表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。
在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后）， 我们记录下模型参数的估计值，表示为\(\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}\)。 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。
3.1.1.5. 用模型进行预测¶
给定“已学习”的线性回归模型\(\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}\)， 现在我们可以通过房屋面积\(x_1\)和房龄\(x_2\)来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。 给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。
本书将尝试坚持使用预测这个词。 虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。 在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。 当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。
3.1.2. 矢量化加速¶
在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。
%matplotlib inline
import math
import time
from mxnet import np
from d2l import mxnet as d2l
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import math
import time
import numpy as np
import paddle
为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑对向量相加的两种方法。
我们实例化两个全为1的10000维向量。
在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量；
在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。
n = 10000
a = np.ones([n])
b = np.ones([n])
[07:13:03] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])
n = 10000
a = tf.ones([n])
b = tf.ones([n])
n = 10000
a = paddle.ones([n])
b = paddle.ones([n])
由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器：
class Timer: #@save
"""记录多次运行时间"""
def __init__(self):
self.times = []
self.start()
def start(self):
"""启动计时器"""
self.tik = time.time()
def stop(self):
"""停止计时器并将时间记录在列表中"""
self.times.append(time.time() - self.tik)
return self.times[-1]
def avg(self):
"""返回平均时间"""
return sum(self.times) / len(self.times)
def sum(self):
"""返回时间总和"""
return sum(self.times)
def cumsum(self):
"""返回累计时间"""
return np.array(self.times).cumsum().tolist()
现在我们可以对工作负载进行基准测试。
首先，我们使用for循环，每次执行一位的加法。
c = np.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'4.33872 sec'
c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.16749 sec'
c = tf.Variable(tf.zeros(n))
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i].assign(a[i] + b[i])
f'{timer.stop():.5f} sec'
'9.51930 sec'
c = paddle.zeros([n])
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'
'1.27662 sec'
或者，我们使用重载的+运算符来计算按元素的和。
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00024 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00042 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00060 sec'
timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'
'0.00020 sec'
结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。 矢量化代码通常会带来数量级的加速。 另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。
3.1.3. 正态分布与平方损失¶
接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。
正态分布和线性回归之间的关系很密切。 正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution）， 最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。 简单的说，若随机变量\(x\)具有均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)（标准差\(\sigma\)），其正态分布概率密度函数如下：
下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。
def normal(x, mu, sigma):
p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)
我们现在可视化正态分布。
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# Mean and standard deviation pairs
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x.asnumpy(), [normal(x, mu, sigma).asnumpy() for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])
就像我们所看到的，改变均值会产生沿\(x\)轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。
均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是： 我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。 噪声正态分布如下式:
其中，\(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)。
因此，我们现在可以写出通过给定的\(\mathbf{x}\)观测到特定\(y\)的似然（likelihood）：
现在，根据极大似然估计法，参数\(\mathbf{w}\)和\(b\)的最优值是使整个数据集的似然最大的值：
根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难， 但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。 由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。 我们可以改为最小化负对数似然\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。 由此可以得到的数学公式是：
现在我们只需要假设\(\sigma\)是某个固定常数就可以忽略第一项， 因为第一项不依赖于\(\mathbf{w}\)和\(b\)。 现在第二项除了常数\(\frac{1}{\sigma^2}\)外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。 幸运的是，上面式子的解并不依赖于\(\sigma\)。 因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
3.1.4. 从线性回归到深度网络¶
到目前为止，我们只谈论了线性模型。 尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型， 从而把线性模型看作一个神经网络。 首先，我们用“层”符号来重写这个模型。
3.1.4.1. 神经网络图¶
深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在 图3.1.2中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
图3.1.2 线性回归是一个单层神经网络。¶
在 图3.1.2所示的神经网络中，输入为\(x_1, \ldots, x_d\)， 因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为\(d\)。 网络的输出为\(o_1\)，因此输出层中的输出数是1。 需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。 由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。 也就是说， 图3.1.2中神经网络的层数为1。 我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换（ 图3.1.2中的输出层） 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。 下一章将详细讨论由这些层组成的网络。
3.1.4.2. 生物学¶
线性回归发明的时间（1795年）早于计算神经科学，所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。 当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时， 他们为什么将线性模型作为一个起点呢？ 我们来看一张图片 图3.1.3： 这是一张由树突（dendrites，输入终端）、 细胞核（nucleus，CPU）组成的生物神经元图片。 轴突（axon，输出线）和轴突端子（axon terminal，输出端子） 通过突触（synapse）与其他神经元连接。
图3.1.3 真实的神经元。¶
树突中接收到来自其他神经元（或视网膜等环境传感器）的信息\(x_i\)。 该信息通过突触权重\(w_i\)来加权，以确定输入的影响（即，通过\(x_i w_i\)相乘来激活或抑制）。 来自多个源的加权输入以加权和\(y = \sum_i x_i w_i + b\)的形式汇聚在细胞核中， 然后将这些信息发送到轴突\(y\)中进一步处理，通常会通过\(\sigma(y)\)进行一些非线性处理。 之后，它要么到达目的地（例如肌肉），要么通过树突进入另一个神经元。
当然，许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起， 从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂， 这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。
当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。 我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格在他们的经典人工智能教科书 Artificial Intelligence:A Modern Approach (Russell and Norvig, 2016) 中所说的：虽然飞机可能受到鸟类的启发，但几个世纪以来，鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。 同样地，如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。
3.1.5. 小结¶
机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
线性回归模型也是一个简单的神经网络。
3.1.6. 练习¶
假设我们有一些数据\(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\)。我们的目标是找到一个常数\(b\)，使得最小化\(\sum_i (x_i - b)^2\)。
找到最优值\(b\)的解析解。
这个问题及其解与正态分布有什么关系?
推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题，可以忽略偏置\(b\)（我们可以通过向\(\mathbf X\)添加所有值为1的一列来做到这一点）。
用矩阵和向量表示法写出优化问题（将所有数据视为单个矩阵，将所有目标值视为单个向量）。
计算损失对\(w\)的梯度。
通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。
什么时候可能比使用随机梯度下降更好？这种方法何时会失效？
假定控制附加噪声\(\epsilon\)的噪声模型是指数分布。也就是说，\(p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)\)
写出模型\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)下数据的负对数似然。
请试着写出解析解。
提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错？（提示：当我们不断更新参数时，在驻点附近会发生什么情况）请尝试解决这个问题。