6.5. 汇聚层¶ Open the notebook in SageMaker Studio Lab
通常当我们处理图像时，我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息，这样随着我们在神经网络中层叠的上升，每个神经元对其敏感的感受野（输入）就越大。
而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关（例如，“图像是否包含一只猫呢？”），所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息，生成越来越粗糙的映射，最终实现学习全局表示的目标，同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。
此外，当检测较底层的特征时（例如
6.2节中所讨论的边缘），我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如，如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像X，并将整个图像向右移动一个像素，即Z[i, j] = X[i, j + 1]，则新图像Z的输出可能大不相同。而在现实中，随着拍摄角度的移动，任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体，由于快门的移动而引起的相机振动，可能会使所有物体左右移动一个像素（除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题）。
本节将介绍汇聚（pooling）层，它具有双重目的：降低卷积层对位置的敏感性，同时降低对空间降采样表示的敏感性。
6.5.1. 最大汇聚层和平均汇聚层¶
与卷积层类似，汇聚层运算符由一个固定形状的窗口组成，该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动，为固定形状窗口（有时称为汇聚窗口）遍历的每个位置计算一个输出。 然而，不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算，汇聚层不包含参数。 相反，池运算是确定性的，我们通常计算汇聚窗口中所有元素的最大值或平均值。这些操作分别称为最大汇聚层（maximum pooling）和平均汇聚层（average pooling）。
在这两种情况下，与互相关运算符一样，汇聚窗口从输入张量的左上角开始，从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置，它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大汇聚层还是平均汇聚层。
图6.5.1 汇聚窗口形状为 \(2\times 2\) 的最大汇聚层。着色部分是第一个输出元素，以及用于计算这个输出的输入元素: \(\max(0, 1, 3, 4)=4\).¶
图6.5.1中的输出张量的高度为\(2\)，宽度为\(2\)。这四个元素为每个汇聚窗口中的最大值：
汇聚窗口形状为\(p \times q\)的汇聚层称为\(p \times q\)汇聚层，汇聚操作称为\(p \times q\)汇聚。
回到本节开头提到的对象边缘检测示例，现在我们将使用卷积层的输出作为\(2\times 2\)最大汇聚的输入。
设置卷积层输入为X，汇聚层输出为Y。
无论X[i, j]和X[i, j + 1]的值相同与否，或X[i, j + 1]和X[i, j + 2]的值相同与否，汇聚层始终输出Y[i, j] = 1。
也就是说，使用\(2\times 2\)最大汇聚层，即使在高度或宽度上移动一个元素，卷积层仍然可以识别到模式。
在下面的代码中的pool2d函数，我们实现汇聚层的前向传播。 这类似于
6.2节中的corr2d函数。
然而，这里我们没有卷积核，输出为输入中每个区域的最大值或平均值。
from mxnet import np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l
npx.set_np()
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = np.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
import tensorflow as tf
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = tf.Variable(tf.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w +1)))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j].assign(tf.reduce_max(X[i: i + p_h, j: j + p_w]))
elif mode =='avg':
Y[i, j].assign(tf.reduce_mean(X[i: i + p_h, j: j + p_w]))
return Y
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle
from paddle import nn
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
Y = paddle.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
我们可以构建
图6.5.1中的输入张量X，验证二维最大汇聚层的输出。
X = np.array([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
[07:22:08] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
array([[4., 5.],
[7., 8.]])
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
tensor([[4., 5.],
[7., 8.]])
X = tf.constant([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 2) dtype=float32, numpy=
array([[4., 5.],
[7., 8.]], dtype=float32)>
X = paddle.to_tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
Tensor(shape=[2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[4., 5.],
[7., 8.]])
此外，我们还可以验证平均汇聚层。
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
array([[2., 3.],
[5., 6.]])
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
tensor([[2., 3.],
[5., 6.]])
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 2) dtype=float32, numpy=
array([[2., 3.],
[5., 6.]], dtype=float32)>
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
Tensor(shape=[2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[2., 3.],
[5., 6.]])
6.5.2. 填充和步幅¶
与卷积层一样，汇聚层也可以改变输出形状。和以前一样，我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。
下面，我们用深度学习框架中内置的二维最大汇聚层，来演示汇聚层中填充和步幅的使用。
我们首先构造了一个输入张量X，它有四个维度，其中样本数和通道数都是1。
X = np.arange(16, dtype=np.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
array([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
请注意，Tensorflow采用“通道最后”（channels-last）语法，对其进行优化， （即Tensorflow中输入的最后维度是通道）。
X = tf.reshape(tf.range(16, dtype=tf.float32), (1, 4, 4, 1))
X
<tf.Tensor: shape=(1, 4, 4, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 0.],
[ 1.],
[ 2.],
[ 3.]],
[[ 4.],
[ 5.],
[ 6.],
[ 7.]],
[[ 8.],
[ 9.],
[10.],
[11.]],
[[12.],
[13.],
[14.],
[15.]]]], dtype=float32)>
X = paddle.arange(16, dtype="float32").reshape((1, 1, 4, 4))
X
Tensor(shape=[1, 1, 4, 4], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[0. , 1. , 2. , 3. ],
[4. , 5. , 6. , 7. ],
[8. , 9. , 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]]]])
默认情况下，深度学习框架中的步幅与汇聚窗口的大小相同。
因此，如果我们使用形状为(3, 3)的汇聚窗口，那么默认情况下，我们得到的步幅形状为(3, 3)。
pool2d = nn.MaxPool2D(3)
# 由于汇聚层中没有参数，所以不需要调用初始化函数
pool2d(X)
array([[[[10.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)
tensor([[[[10.]]]])
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3])
pool2d(X)
<tf.Tensor: shape=(1, 1, 1, 1), dtype=float32, numpy=array([[[[10.]]]], dtype=float32)>
pool2d = nn.MaxPool2D(3, stride=3)
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 1, 1, 1], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[10.]]]])
填充和步幅可以手动设定。
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
array([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
当然，我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口，并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(0, 1), strides=(2, 3))
pool2d(X)
array([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
当然，我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口，并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]]]])
paddings = tf.constant([[0, 0], [1,0], [1,0], [0,0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='valid',
strides=2)
pool2d(X_padded)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5.],
[ 7.]],
[[13.],
[15.]]]], dtype=float32)>
当然，我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口，并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
paddings = tf.constant([[0, 0], [0, 0], [1, 1], [0, 0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[2, 3], padding='valid',
strides=(2, 3))
pool2d(X_padded)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 1), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5.],
[ 7.]],
[[13.],
[15.]]]], dtype=float32)>
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 1, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[5. , 7. ],
[13., 15.]]]])
当然，我们可以设定一个任意大小的矩形汇聚窗口，并分别设定填充和步幅的高度和宽度。
pool2d = nn.MaxPool2D((2, 3), padding=(0, 1), stride=(2, 3))
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 1, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[5. , 7. ],
[13., 15.]]]])
6.5.3. 多个通道¶
在处理多通道输入数据时，汇聚层在每个输入通道上单独运算，而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。
这意味着汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。
下面，我们将在通道维度上连结张量X和X + 1，以构建具有2个通道的输入。
X = np.concatenate((X, X + 1), 1)
X
array([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[ 1., 2., 3., 4.],
[ 5., 6., 7., 8.],
[ 9., 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X
tensor([[[[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[ 1., 2., 3., 4.],
[ 5., 6., 7., 8.],
[ 9., 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
请注意，由于TensorFlow采用“通道最后”（channels-last）的语法， 我们需要沿输入的最后一个维度进行串联。
X = tf.concat([X, X + 1], 3)
X = paddle.concat((X, X + 1), 1)
X
Tensor(shape=[1, 2, 4, 4], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[0. , 1. , 2. , 3. ],
[4. , 5. , 6. , 7. ],
[8. , 9. , 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.]],
[[1. , 2. , 3. , 4. ],
[5. , 6. , 7. , 8. ],
[9. , 10., 11., 12.],
[13., 14., 15., 16.]]]])
如下所示，汇聚后输出通道的数量仍然是2。
pool2d = nn.MaxPool2D(3, padding=1, strides=2)
pool2d(X)
array([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]],
[[ 6., 8.],
[14., 16.]]]])
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
tensor([[[[ 5., 7.],
[13., 15.]],
[[ 6., 8.],
[14., 16.]]]])
paddings = tf.constant([[0, 0], [1,0], [1,0], [0,0]])
X_padded = tf.pad(X, paddings, "CONSTANT")
pool2d = tf.keras.layers.MaxPool2D(pool_size=[3, 3], padding='valid',
strides=2)
pool2d(X_padded)
<tf.Tensor: shape=(1, 2, 2, 2), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 5., 6.],
[ 7., 8.]],
[[13., 14.],
[15., 16.]]]], dtype=float32)>
请注意，上面的输出乍一看似乎有所不同，但MXNet和PyTorch的结果从数值上是相同的。 不同之处在于维度，垂直读取输出会产生与其他实现相同的输出。
pool2d = paddle.nn.MaxPool2D(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
Tensor(shape=[1, 2, 2, 2], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[[[[5. , 7. ],
[13., 15.]],
[[6. , 8. ],
[14., 16.]]]])
6.5.4. 小结¶
对于给定输入元素，最大汇聚层会输出该窗口内的最大值，平均汇聚层会输出该窗口内的平均值。
汇聚层的主要优点之一是减轻卷积层对位置的过度敏感。
我们可以指定汇聚层的填充和步幅。
使用最大汇聚层以及大于1的步幅，可减少空间维度（如高度和宽度）。
汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。
6.5.5. 练习¶
尝试将平均汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。
尝试将最大汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。
假设汇聚层的输入大小为\(c\times h\times w\)，则汇聚窗口的形状为\(p_h\times p_w\)，填充为\((p_h, p_w)\)，步幅为\((s_h, s_w)\)。这个汇聚层的计算成本是多少？
为什么最大汇聚层和平均汇聚层的工作方式不同？
我们是否需要最小汇聚层？可以用已知函数替换它吗？
除了平均汇聚层和最大汇聚层，是否有其它函数可以考虑（提示：回想一下
softmax）？为什么它不流行？