11.3. 梯度下降¶ Open the notebook in SageMaker Studio Lab
尽管梯度下降（gradient descent）很少直接用于深度学习， 但了解它是理解下一节随机梯度下降算法的关键。 例如，由于学习率过大，优化问题可能会发散，这种现象早已在梯度下降中出现。 同样地，预处理（preconditioning）是梯度下降中的一种常用技术， 还被沿用到更高级的算法中。 让我们从简单的一维梯度下降开始。
11.3.1. 一维梯度下降¶
为什么梯度下降算法可以优化目标函数？ 一维中的梯度下降给我们很好的启发。 考虑一类连续可微实值函数\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)， 利用泰勒展开，我们可以得到
即在一阶近似中，\(f(x+\epsilon)\)可通过\(x\)处的函数值\(f(x)\)和一阶导数\(f'(x)\)得出。 我们可以假设在负梯度方向上移动的\(\epsilon\)会减少\(f\)。 为了简单起见，我们选择固定步长\(\eta > 0\)，然后取\(\epsilon = -\eta f'(x)\)。 将其代入泰勒展开式我们可以得到
如果其导数\(f'(x) \neq 0\)没有消失，我们就能继续展开，这是因为\(\eta f'^2(x)>0\)。 此外，我们总是可以令\(\eta\)小到足以使高阶项变得不相关。 因此，
这意味着，如果我们使用
来迭代\(x\)，函数\(f(x)\)的值可能会下降。 因此，在梯度下降中，我们首先选择初始值\(x\)和常数\(\eta > 0\)， 然后使用它们连续迭代\(x\)，直到停止条件达成。 例如，当梯度\(|f'(x)|\)的幅度足够小或迭代次数达到某个值时。
下面我们来展示如何实现梯度下降。为了简单起见，我们选用目标函数\(f(x)=x^2\)。 尽管我们知道\(x=0\)时\(f(x)\)能取得最小值， 但我们仍然使用这个简单的函数来观察\(x\)的变化。
%matplotlib inline
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l
npx.set_np()
def f(x): # 目标函数
return x ** 2
def f_grad(x): # 目标函数的梯度(导数)
return 2 * x
%matplotlib inline
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l
def f(x): # 目标函数
return x ** 2
def f_grad(x): # 目标函数的梯度(导数)
return 2 * x
%matplotlib inline
import numpy as np
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
def f(x): # 目标函数
return x ** 2
def f_grad(x): # 目标函数的梯度(导数)
return 2 * x
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import numpy as np
import paddle
def f(x): # 目标函数
return x ** 2
def f_grad(x): # 目标函数的梯度(导数)
return 2 * x
接下来，我们使用\(x=10\)作为初始值，并假设\(\eta=0.2\)。 使用梯度下降法迭代\(x\)共10次，我们可以看到，\(x\)的值最终将接近最优解。
def gd(eta, f_grad):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x)
results.append(float(x))
print(f'epoch 10, x: {x:f}')
return results
results = gd(0.2, f_grad)
epoch 10, x: 0.060466
def gd(eta, f_grad):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x)
results.append(float(x))
print(f'epoch 10, x: {x:f}')
return results
results = gd(0.2, f_grad)
epoch 10, x: 0.060466
def gd(eta, f_grad):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x)
results.append(float(x))
print(f'epoch 10, x: {x:f}')
return results
results = gd(0.2, f_grad)
epoch 10, x: 0.060466
def gd(eta, f_grad):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x)
results.append(float(x))
print(f'epoch 10, x: {float(x):f}')
return results
results = gd(0.2, f_grad)
epoch 10, x: 0.060466
对进行\(x\)优化的过程可以绘制如下。
def show_trace(results, f):
n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
f_line = np.arange(-n, n, 0.01)
d2l.set_figsize()
d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])
show_trace(results, f)
[07:12:32] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
def show_trace(results, f):
n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
f_line = torch.arange(-n, n, 0.01)
d2l.set_figsize()
d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])
show_trace(results, f)
def show_trace(results, f):
n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
f_line = tf.range(-n, n, 0.01)
d2l.set_figsize()
d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])
show_trace(results, f)
def show_trace(results, f):
n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
f_line = paddle.arange(-n, n, 0.01, dtype='float32')
d2l.set_figsize()
d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])
show_trace(results, f)
11.3.1.1. 学习率¶
学习率（learning rate）决定目标函数能否收敛到局部最小值，以及何时收敛到最小值。 学习率\(\eta\)可由算法设计者设置。 请注意，如果我们使用的学习率太小，将导致\(x\)的更新非常缓慢，需要更多的迭代。 例如，考虑同一优化问题中\(\eta = 0.05\)的进度。 如下所示，尽管经过了10个步骤，我们仍然离最优解很远。
show_trace(gd(0.05, f_grad), f)
epoch 10, x: 3.486784
show_trace(gd(0.05, f_grad), f)
epoch 10, x: 3.486784
show_trace(gd(0.05, f_grad), f)
epoch 10, x: 3.486784
show_trace(gd(0.05, f_grad), f)
epoch 10, x: 3.486784
相反，如果我们使用过高的学习率，\(\left|\eta f'(x)\right|\)对于一阶泰勒展开式可能太大。 也就是说， (11.3.1)中的\(\mathcal{O}(\eta^2 f'^2(x))\)可能变得显著了。 在这种情况下，\(x\)的迭代不能保证降低\(f(x)\)的值。 例如，当学习率为\(\eta=1.1\)时，\(x\)超出了最优解\(x=0\)并逐渐发散。
show_trace(gd(1.1, f_grad), f)
epoch 10, x: 61.917364
show_trace(gd(1.1, f_grad), f)
epoch 10, x: 61.917364
show_trace(gd(1.1, f_grad), f)
epoch 10, x: 61.917364
show_trace(gd(1.1, f_grad), f)
epoch 10, x: 61.917364
11.3.1.2. 局部最小值¶
为了演示非凸函数的梯度下降，考虑函数\(f(x) = x \cdot \cos(cx)\)，其中\(c\)为某常数。 这个函数有无穷多个局部最小值。 根据我们选择的学习率，我们最终可能只会得到许多解的一个。 下面的例子说明了（不切实际的）高学习率如何导致较差的局部最小值。
c = np.array(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * np.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return np.cos(c * x) - c * x * np.sin(c * x)
show_trace(gd(2, f_grad), f)
epoch 10, x: -1.528165
c = torch.tensor(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * torch.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return torch.cos(c * x) - c * x * torch.sin(c * x)
show_trace(gd(2, f_grad), f)
epoch 10, x: -1.528166
c = tf.constant(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * tf.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return tf.cos(c * x) - c * x * tf.sin(c * x)
show_trace(gd(2, f_grad), f)
epoch 10, x: -1.528165
c = paddle.to_tensor(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * paddle.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return paddle.cos(c * x) - c * x * paddle.sin(c * x)
show_trace(gd(2, f_grad), f)
epoch 10, x: -1.528165
11.3.2. 多元梯度下降¶
现在我们对单变量的情况有了更好的理解，让我们考虑一下\(\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_d]^\top\)的情况。 即目标函数\(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\)将向量映射成标量。 相应地，它的梯度也是多元的，它是一个由\(d\)个偏导数组成的向量：
梯度中的每个偏导数元素\(\partial f(\mathbf{x})/\partial x_i\)代表了当输入\(x_i\)时\(f\)在\(\mathbf{x}\)处的变化率。 和先前单变量的情况一样，我们可以对多变量函数使用相应的泰勒近似来思考。 具体来说，
换句话说，在\(\boldsymbol{\epsilon}\)的二阶项中， 最陡下降的方向由负梯度\(-\nabla f(\mathbf{x})\)得出。 选择合适的学习率\(\eta > 0\)来生成典型的梯度下降算法：
这个算法在实践中的表现如何呢？ 我们构造一个目标函数\(f(\mathbf{x})=x_1^2+2x_2^2\)， 并有二维向量\(\mathbf{x} = [x_1, x_2]^\top\)作为输入， 标量作为输出。 梯度由\(\nabla f(\mathbf{x}) = [2x_1, 4x_2]^\top\)给出。 我们将从初始位置\([-5, -2]\)通过梯度下降观察\(\mathbf{x}\)的轨迹。
我们还需要两个辅助函数： 第一个是update函数，并将其应用于初始值20次； 第二个函数会显示\(\mathbf{x}\)的轨迹。
def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None): #@save
"""用定制的训练机优化2D目标函数"""
# s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
results = [(x1, x2)]
for i in range(steps):
if f_grad:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
else:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
results.append((x1, x2))
print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
return results
def show_trace_2d(f, results): #@save
"""显示优化过程中2D变量的轨迹"""
d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1),
np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
d2l.plt.xlabel('x1')
d2l.plt.ylabel('x2')
def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None): #@save
"""用定制的训练机优化2D目标函数"""
# s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
results = [(x1, x2)]
for i in range(steps):
if f_grad:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
else:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
results.append((x1, x2))
print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
return results
def show_trace_2d(f, results): #@save
"""显示优化过程中2D变量的轨迹"""
d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
x1, x2 = torch.meshgrid(torch.arange(-5.5, 1.0, 0.1),
torch.arange(-3.0, 1.0, 0.1), indexing='ij')
d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
d2l.plt.xlabel('x1')
d2l.plt.ylabel('x2')
def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None): #@save
"""用定制的训练机优化2D目标函数"""
# s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
results = [(x1, x2)]
for i in range(steps):
if f_grad:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
else:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
results.append((x1, x2))
print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
return results
def show_trace_2d(f, results): #@save
"""显示优化过程中2D变量的轨迹"""
d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
x1, x2 = tf.meshgrid(tf.range(-5.5, 1.0, 0.1),
tf.range(-3.0, 1.0, 0.1))
d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
d2l.plt.xlabel('x1')
d2l.plt.ylabel('x2')
def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None): #@save
"""用定制的训练机优化2D目标函数"""
# s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
results = [(x1, x2)]
for i in range(steps):
if f_grad:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
else:
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
results.append((x1, x2))
print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
return results
def show_trace_2d(f, results): #@save
"""显示优化过程中2D变量的轨迹"""
d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
x1, x2 = paddle.meshgrid(paddle.arange(-5.5, 1.0, 0.1, dtype='float32'),
paddle.arange(-3.0, 1.0, 0.1, dtype='float32'))
d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
d2l.plt.xlabel('x1')
d2l.plt.ylabel('x2')
接下来，我们观察学习率\(\eta = 0.1\)时优化变量\(\mathbf{x}\)的轨迹。 可以看到，经过20步之后，\(\mathbf{x}\)的值接近其位于\([0, 0]\)的最小值。 虽然进展相当顺利，但相当缓慢。
def f_2d(x1, x2): # 目标函数
return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
def f_2d_grad(x1, x2): # 目标函数的梯度
return (2 * x1, 4 * x2)
def gd_2d(x1, x2, s1, s2, f_grad):
g1, g2 = f_grad(x1, x2)
return (x1 - eta * g1, x2 - eta * g2, 0, 0)
eta = 0.1
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d, f_grad=f_2d_grad))
epoch 20, x1: -0.057646, x2: -0.000073
def f_2d(x1, x2): # 目标函数
return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
def f_2d_grad(x1, x2): # 目标函数的梯度
return (2 * x1, 4 * x2)
def gd_2d(x1, x2, s1, s2, f_grad):
g1, g2 = f_grad(x1, x2)
return (x1 - eta * g1, x2 - eta * g2, 0, 0)
eta = 0.1
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d, f_grad=f_2d_grad))
epoch 20, x1: -0.057646, x2: -0.000073
def f_2d(x1, x2): # 目标函数
return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
def f_2d_grad(x1, x2): # 目标函数的梯度
return (2 * x1, 4 * x2)
def gd_2d(x1, x2, s1, s2, f_grad):
g1, g2 = f_grad(x1, x2)
return (x1 - eta * g1, x2 - eta * g2, 0, 0)
eta = 0.1
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d, f_grad=f_2d_grad))
epoch 20, x1: -0.057646, x2: -0.000073
def f_2d(x1, x2): # 目标函数
return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
def f_2d_grad(x1, x2): # 目标函数的梯度
return (2 * x1, 4 * x2)
def gd_2d(x1, x2, s1, s2, f_grad):
g1, g2 = f_grad(x1, x2)
return (x1 - eta * g1, x2 - eta * g2, 0, 0)
eta = 0.1
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d, f_grad=f_2d_grad))
epoch 20, x1: -0.057646, x2: -0.000073
11.3.3. 自适应方法¶
正如我们在 11.3.1.1节中所看到的，选择“恰到好处”的学习率\(\eta\)是很棘手的。 如果我们把它选得太小，就没有什么进展；如果太大，得到的解就会振荡，甚至可能发散。 如果我们可以自动确定\(\eta\)，或者完全不必选择学习率，会怎么样？ 除了考虑目标函数的值和梯度、还考虑它的曲率的二阶方法可以帮我们解决这个问题。 虽然由于计算代价的原因，这些方法不能直接应用于深度学习，但它们为如何设计高级优化算法提供了有用的思维直觉，这些算法可以模拟下面概述的算法的许多理想特性。
11.3.3.1. 牛顿法¶
回顾一些函数\(f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}\)的泰勒展开式，事实上我们可以把它写成
为了避免繁琐的符号，我们将\(\mathbf{H} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \nabla^2 f(\mathbf{x})\)定义为\(f\)的Hessian，是\(d \times d\)矩阵。 当\(d\)的值很小且问题很简单时，\(\mathbf{H}\)很容易计算。 但是对于深度神经网络而言，考虑到\(\mathbf{H}\)可能非常大， \(\mathcal{O}(d^2)\)个条目的存储代价会很高， 此外通过反向传播进行计算可能雪上加霜。 然而，我们姑且先忽略这些考量，看看会得到什么算法。
毕竟，\(f\)的最小值满足\(\nabla f = 0\)。 遵循 2.4节中的微积分规则， 通过取\(\boldsymbol{\epsilon}\)对 (11.3.8)的导数， 再忽略不重要的高阶项，我们便得到
也就是说，作为优化问题的一部分，我们需要将Hessian矩阵\(\mathbf{H}\)求逆。
举一个简单的例子，对于\(f(x) = \frac{1}{2} x^2\)，我们有\(\nabla f(x) = x\)和\(\mathbf{H} = 1\)。 因此，对于任何\(x\)，我们可以获得\(\epsilon = -x\)。 换言之，单单一步就足以完美地收敛，而无须任何调整。 我们在这里比较幸运：泰勒展开式是确切的，因为\(f(x+\epsilon)= \frac{1}{2} x^2 + \epsilon x + \frac{1}{2} \epsilon^2\)。
让我们看看其他问题。 给定一个凸双曲余弦函数\(c\)，其中\(c\)为某些常数， 我们可以看到经过几次迭代后，得到了\(x=0\)处的全局最小值。
c = np.array(0.5)
def f(x): # O目标函数
return np.cosh(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return c * np.sinh(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return c**2 * np.cosh(c * x)
def newton(eta=1):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x) / f_hess(x)
results.append(float(x))
print('epoch 10, x:', x)
return results
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: 0.0
c = torch.tensor(0.5)
def f(x): # O目标函数
return torch.cosh(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return c * torch.sinh(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return c**2 * torch.cosh(c * x)
def newton(eta=1):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x) / f_hess(x)
results.append(float(x))
print('epoch 10, x:', x)
return results
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: tensor(0.)
c = tf.constant(0.5)
def f(x): # O目标函数
return tf.cosh(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return c * tf.sinh(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return c**2 * tf.cosh(c * x)
def newton(eta=1):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x) / f_hess(x)
results.append(float(x))
print('epoch 10, x:', x)
return results
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: tf.Tensor(0.0, shape=(), dtype=float32)
c = paddle.to_tensor(0.5)
def f(x): # O目标函数
return paddle.cosh(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return c * paddle.sinh(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return c**2 * paddle.cosh(c * x)
def newton(eta=1):
x = 10.0
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * f_grad(x) / f_hess(x)
results.append(float(x))
print('epoch 10, x:', x)
return results
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: Tensor(shape=[1], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[0.])
现在让我们考虑一个非凸函数，比如\(f(x) = x \cos(c x)\)，\(c\)为某些常数。 请注意在牛顿法中，我们最终将除以Hessian。 这意味着如果二阶导数是负的，\(f\)的值可能会趋于增加。 这是这个算法的致命缺陷！ 让我们看看实践中会发生什么。
c = np.array(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * np.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return np.cos(c * x) - c * x * np.sin(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return - 2 * c * np.sin(c * x) - x * c**2 * np.cos(c * x)
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: 26.834133
c = torch.tensor(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * torch.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return torch.cos(c * x) - c * x * torch.sin(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return - 2 * c * torch.sin(c * x) - x * c**2 * torch.cos(c * x)
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: tensor(26.8341)
c = tf.constant(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * tf.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return tf.cos(c * x) - c * x * tf.sin(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return - 2 * c * tf.sin(c * x) - x * c**2 * tf.cos(c * x)
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: tf.Tensor(26.834133, shape=(), dtype=float32)
c = paddle.to_tensor(0.15 * np.pi)
def f(x): # 目标函数
return x * paddle.cos(c * x)
def f_grad(x): # 目标函数的梯度
return paddle.cos(c * x) - c * x * paddle.sin(c * x)
def f_hess(x): # 目标函数的Hessian
return - 2 * c * paddle.sin(c * x) - x * c**2 * paddle.cos(c * x)
show_trace(newton(), f)
epoch 10, x: Tensor(shape=[1], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[26.83413315])
这发生了惊人的错误。我们怎样才能修正它？ 一种方法是用取Hessian的绝对值来修正，另一个策略是重新引入学习率。 这似乎违背了初衷，但不完全是——拥有二阶信息可以使我们在曲率较大时保持谨慎，而在目标函数较平坦时则采用较大的学习率。 让我们看看在学习率稍小的情况下它是如何生效的，比如\(\eta = 0.5\)。 如我们所见，我们有了一个相当高效的算法。
show_trace(newton(0.5), f)
epoch 10, x: 7.26986
show_trace(newton(0.5), f)
epoch 10, x: tensor(7.2699)
show_trace(newton(0.5), f)
epoch 10, x: tf.Tensor(7.26986, shape=(), dtype=float32)
show_trace(newton(0.5), f)
epoch 10, x: Tensor(shape=[1], dtype=float32, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
[7.26985979])
11.3.3.2. 收敛性分析¶
在此，我们以部分目标凸函数\(f\)为例，分析它们的牛顿法收敛速度。 这些目标凸函数三次可微，而且二阶导数不为零，即\(f'' > 0\)。 由于多变量情况下的证明是对以下一维参数情况证明的直接拓展，对我们理解这个问题不能提供更多帮助，因此我们省略了多变量情况的证明。
用\(x^{(k)}\)表示\(x\)在第\(k^\mathrm{th}\)次迭代时的值， 令\(e^{(k)} \stackrel{\mathrm{def}}{=} x^{(k)} - x^*\)表示\(k^\mathrm{th}\)迭代时与最优性的距离。 通过泰勒展开，我们得到条件\(f'(x^*) = 0\)可以写成
这对某些\(\xi^{(k)} \in [x^{(k)} - e^{(k)}, x^{(k)}]\)成立。 将上述展开除以\(f''(x^{(k)})\)得到
回想之前的方程\(x^{(k+1)} = x^{(k)} - f'(x^{(k)}) / f''(x^{(k)})\)。 代入这个更新方程，取两边的绝对值，我们得到
因此，每当我们处于有界区域\(\left|f'''(\xi^{(k)})\right| / (2f''(x^{(k)})) \leq c\)， 我们就有一个二次递减误差
另一方面，优化研究人员称之为“线性”收敛，而将\(\left|e^{(k+1)}\right| \leq \alpha \left|e^{(k)}\right|\)这样的条件称为“恒定”收敛速度。 请注意，我们无法估计整体收敛的速度，但是一旦我们接近极小值，收敛将变得非常快。 另外，这种分析要求\(f\)在高阶导数上表现良好，即确保\(f\)在如何变化它的值方面没有任何“超常”的特性。
11.3.3.3. 预处理¶
计算和存储完整的Hessian非常昂贵，而改善这个问题的一种方法是“预处理”。 它回避了计算整个Hessian，而只计算“对角线”项，即如下的算法更新：
虽然这不如完整的牛顿法精确，但它仍然比不使用要好得多。 为什么预处理有效呢？ 假设一个变量以毫米表示高度，另一个变量以公里表示高度的情况。 假设这两种自然尺度都以米为单位，那么我们的参数化就出现了严重的不匹配。 幸运的是，使用预处理可以消除这种情况。 梯度下降的有效预处理相当于为每个变量选择不同的学习率（矢量\(\mathbf{x}\)的坐标）。 我们将在后面一节看到，预处理推动了随机梯度下降优化算法的一些创新。
11.3.3.4. 梯度下降和线搜索¶
梯度下降的一个关键问题是我们可能会超过目标或进展不足， 解决这一问题的简单方法是结合使用线搜索和梯度下降。 也就是说，我们使用\(\nabla f(\mathbf{x})\)给出的方向， 然后进行二分搜索，以确定哪个学习率\(\eta\)使\(f(\mathbf{x} - \eta \nabla f(\mathbf{x}))\)取最小值。
有关分析和证明，此算法收敛迅速（请参见 (Boyd and Vandenberghe, 2004)）。 然而，对深度学习而言，这不太可行。 因为线搜索的每一步都需要评估整个数据集上的目标函数，实现它的方式太昂贵了。
11.3.4. 小结¶
学习率的大小很重要：学习率太大会使模型发散，学习率太小会没有进展。
梯度下降会可能陷入局部极小值，而得不到全局最小值。
在高维模型中，调整学习率是很复杂的。
预处理有助于调节比例。
牛顿法在凸问题中一旦开始正常工作，速度就会快得多。
对于非凸问题，不要不作任何调整就使用牛顿法。
11.3.5. 练习¶
用不同的学习率和目标函数进行梯度下降实验。
在区间\([a, b]\)中实现线搜索以最小化凸函数。
是否需要导数来进行二分搜索，即决定选择\([a, (a+b)/2]\)还是\([(a+b)/2, b]\)。
算法的收敛速度有多快？
实现该算法，并将其应用于求\(\log (\exp(x) + \exp(-2x -3))\)的最小值。
设计一个定义在\(\mathbb{R}^2\)上的目标函数，它的梯度下降非常缓慢。提示：不同坐标的缩放方式不同。
使用预处理实现牛顿方法的轻量版本。
使用对角Hessian作为预条件子。
使用它的绝对值，而不是实际值（可能有符号）。
将此应用于上述问题。
将上述算法应用于多个目标函数（凸或非凸）。如果把坐标旋转\(45\)度会怎么样？