3.4. softmax回归¶ Open the notebook in SageMaker Studio Lab
在 3.1节中我们介绍了线性回归。 随后，在 3.2节中我们从头实现线性回归。 然后，在 3.3节中我们使用深度学习框架的高级API简洁实现线性回归。
回归可以用于预测多少的问题。 比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。
事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：
某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
某个用户可能注册或不注册订阅服务？
某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
某人接下来最有可能看哪部电影？
通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题： 1. 我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别； 2. 我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。 这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。
3.4.1. 分类问题¶
我们从一个图像分类问题开始。 假设每次输入是一个\(2\times2\)的灰度图像。 我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征\(x_1, x_2, x_3, x_4\)。 此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。
接下来，我们要选择如何表示标签。 我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择\(y \in \{1, 2, 3\}\)， 其中整数分别代表\(\{\text{狗}, \text{猫}, \text{鸡}\}\)。 这是在计算机上存储此类信息的有效方法。 如果类别间有一些自然顺序， 比如说我们试图预测\(\{\text{婴儿}, \text{儿童}, \text{青少年}, \text{青年人}, \text{中年人}, \text{老年人}\}\)， 那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。
但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。 幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。 独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。 类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。 在我们的例子中，标签\(y\)将是一个三维向量， 其中\((1, 0, 0)\)对应于“猫”、\((0, 1, 0)\)对应于“鸡”、\((0, 0, 1)\)对应于“狗”：
3.4.2. 网络架构¶
为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。 为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。 每个输出对应于它自己的仿射函数。 在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别， 我们将需要12个标量来表示权重（带下标的\(w\)）， 3个标量来表示偏置（带下标的\(b\)）。 下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：\(o_1\)、\(o_2\)和\(o_3\)。
我们可以用神经网络图 图3.4.1来描述这个计算过程。 与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。 由于计算每个输出\(o_1\)、\(o_2\)和\(o_3\)取决于 所有输入\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)和\(x_4\)， 所以softmax回归的输出层也是全连接层。
图3.4.1 softmax回归是一种单层神经网络¶
为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。 通过向量形式表达为\(\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}\)， 这是一种更适合数学和编写代码的形式。 由此，我们已经将所有权重放到一个\(3 \times 4\)矩阵中。 对于给定数据样本的特征\(\mathbf{x}\)， 我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置\(\mathbf{b}\)得到的。
3.4.3. 全连接层的参数开销¶
正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。 然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。 具体来说，对于任何具有\(d\)个输入和\(q\)个输出的全连接层， 参数开销为\(\mathcal{O}(dq)\)，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。 幸运的是，将\(d\)个输入转换为\(q\)个输出的成本可以减少到\(\mathcal{O}(\frac{dq}{n})\)， 其中超参数\(n\)可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性 (Zhang et al., 2021)。
3.4.4. softmax运算¶
现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。 为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。
我们希望模型的输出\(\hat{y}_j\)可以视为属于类\(j\)的概率， 然后选择具有最大输出值的类别\(\operatorname*{argmax}_j y_j\)作为我们的预测。 例如，如果\(\hat{y}_1\)、\(\hat{y}_2\)和\(\hat{y}_3\)分别为0.1、0.8和0.1， 那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。
然而我们能否将未规范化的预测\(o\)直接视作我们感兴趣的输出呢？ 答案是否定的。 因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题： 一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。 另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。 这些违反了 2.6节中所说的概率基本公理。
要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。 此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。 例如， 在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。 这个属性叫做校准（calibration）。
社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上 发明的softmax函数正是这样做的： softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持 可导的性质。 为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。 为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：
这里，对于所有的\(j\)总有\(0 \leq \hat{y}_j \leq 1\)。 因此，\(\hat{\mathbf{y}}\)可以视为一个正确的概率分布。 softmax运算不会改变未规范化的预测\(\mathbf{o}\)之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。 因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。
尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。 因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。
3.4.5. 小批量样本的矢量化¶
为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。 假设我们读取了一个批量的样本\(\mathbf{X}\)， 其中特征维度（输入数量）为\(d\)，批量大小为\(n\)。 此外，假设我们在输出中有\(q\)个类别。 那么小批量样本的特征为\(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\)， 权重为\(\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}\)， 偏置为\(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{1\times q}\)。 softmax回归的矢量计算表达式为：
相对于一次处理一个样本， 小批量样本的矢量化加快了\(\mathbf{X}和\mathbf{W}\)的矩阵-向量乘法。 由于\(\mathbf{X}\)中的每一行代表一个数据样本， 那么softmax运算可以按行（rowwise）执行： 对于\(\mathbf{O}\)的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。 在 (3.4.5)中， \(\mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}\)的求和会使用广播机制， 小批量的未规范化预测\(\mathbf{O}\)和输出概率\(\hat{\mathbf{Y}}\) 都是形状为\(n \times q\)的矩阵。
3.4.6. 损失函数¶
接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。 我们将使用最大似然估计，这与在线性回归 （ 3.1.3节） 中的方法相同。
3.4.6.1. 对数似然¶
softmax函数给出了一个向量\(\hat{\mathbf{y}}\)， 我们可以将其视为“对给定任意输入\(\mathbf{x}\)的每个类的条件概率”。 例如，\(\hat{y}_1\)=\(P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})\)。 假设整个数据集\(\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}\)具有\(n\)个样本， 其中索引\(i\)的样本由特征向量\(\mathbf{x}^{(i)}\)和独热标签向量\(\mathbf{y}^{(i)}\)组成。 我们可以将估计值与实际值进行比较：
根据最大似然估计，我们最大化\(P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})\)，相当于最小化负对数似然：
其中，对于任何标签\(\mathbf{y}\)和模型预测\(\hat{\mathbf{y}}\)，损失函数为：
在本节稍后的内容会讲到， (3.4.8)中的损失函数 通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。 由于\(\mathbf{y}\)是一个长度为\(q\)的独热编码向量， 所以除了一个项以外的所有项\(j\)都消失了。 由于所有\(\hat{y}_j\)都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于\(0\)。 因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签\(P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1\)， 则损失函数不能进一步最小化。 注意，这往往是不可能的。 例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标）， 或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。
3.4.6.2. softmax及其导数¶
由于softmax和相关的损失函数很常见， 因此我们需要更好地理解它的计算方式。 将 (3.4.3)代入损失 (3.4.8)中。 利用softmax的定义，我们得到：
考虑相对于任何未规范化的预测\(o_j\)的导数，我们得到：
换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。 从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似， 其中梯度是观测值\(y\)和估计值\(\hat{y}\)之间的差异。 这不是巧合，在任何指数族分布模型中 （参见本书附录中关于数学分布的一节）， 对数似然的梯度正是由此得出的。 这使梯度计算在实践中变得容易很多。
3.4.6.3. 交叉熵损失¶
现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。 对于标签\(\mathbf{y}\)，我们可以使用与以前相同的表示形式。 唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如\((0.1, 0.2, 0.7)\)， 而不是仅包含二元项的向量\((0, 0, 1)\)。 我们使用 (3.4.8)来定义损失\(l\)， 它是所有标签分布的预期损失值。 此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。 本节我们将通过介绍信息论基础来理解交叉熵损失。 如果想了解更多信息论的细节，请进一步参考 本书附录中关于信息论的一节。
3.4.7. 信息论基础¶
信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。
3.4.7.1. 熵¶
信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。 在信息论中，该数值被称为分布\(P\)的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：
信息论的基本定理之一指出，为了对从分布\(p\)中随机抽取的数据进行编码， 我们至少需要\(H[P]\)“纳特（nat）”对其进行编码。 “纳特”相当于比特（bit），但是对数底为\(e\)而不是2。因此，一个纳特是\(\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44\)比特。
3.4.7.2. 信息量¶
压缩与预测有什么关系呢？ 想象一下，我们有一个要压缩的数据流。 如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。 为什么呢？ 举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。 由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。 所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。
但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到“惊异”。 克劳德·香农决定用信息量\(\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)\)来量化这种惊异程度。 在观察一个事件\(j\)时，并赋予它（主观）概率\(P(j)\)。 当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。 在 (3.4.11)中定义的熵， 是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。
3.4.7.3. 重新审视交叉熵¶
如果把熵\(H(P)\)想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？ 交叉熵从\(P\)到\(Q\)，记为\(H(P, Q)\)。 我们可以把交叉熵想象为“主观概率为\(Q\)的观察者在看到根据概率\(P\)生成的数据时的预期惊异”。 当\(P=Q\)时，交叉熵达到最低。 在这种情况下，从\(P\)到\(Q\)的交叉熵是\(H(P, P)= H(P)\)。
简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标： （i）最大化观测数据的似然；（ii）最小化传达标签所需的惊异。
3.4.8. 模型预测和评估¶
在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。 通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。 如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。 在接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。 精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。
3.4.9. 小结¶
softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。
3.4.10. 练习¶
我们可以更深入地探讨指数族与softmax之间的联系。
计算softmax交叉熵损失\(l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})\)的二阶导数。
计算\(\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\)给出的分布方差，并与上面计算的二阶导数匹配。
假设我们有三个类发生的概率相等，即概率向量是\((\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})\)。
如果我们尝试为它设计二进制代码，有什么问题？
请设计一个更好的代码。提示：如果我们尝试编码两个独立的观察结果会发生什么？如果我们联合编码\(n\)个观测值怎么办？
softmax是对上面介绍的映射的误称（虽然深度学习领域中很多人都使用这个名字）。真正的softmax被定义为\(\mathrm{RealSoftMax}(a, b) = \log (\exp(a) + \exp(b))\)。
证明\(\mathrm{RealSoftMax}(a, b) > \mathrm{max}(a, b)\)。
证明\(\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) > \mathrm{max}(a, b)\)成立，前提是\(\lambda > 0\)。
证明对于\(\lambda \to \infty\)，有\(\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) \to \mathrm{max}(a, b)\)。
soft-min会是什么样子？
将其扩展到两个以上的数字。