11.8. RMSProp算法
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11.7节中的关键问题之一,是学习率按预定时间表\(\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})\)显著降低。 虽然这通常适用于凸问题,但对于深度学习中遇到的非凸问题,可能并不理想。 但是,作为一个预处理器,Adagrad算法按坐标顺序的适应性是非常可取的。

[Tieleman & Hinton, 2012]建议以RMSProp算法作为将速率调度与坐标自适应学习率分离的简单修复方法。 问题在于,Adagrad算法将梯度\(\mathbf{g}_t\)的平方累加成状态矢量\(\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2\)。 因此,由于缺乏规范化,没有约束力,\(\mathbf{s}_t\)持续增长,几乎上是在算法收敛时呈线性递增。

解决此问题的一种方法是使用\(\mathbf{s}_t / t\)。 对于\(\mathbf{g}_t\)的合理分布来说,它将收敛。 遗憾的是,限制行为生效可能需要很长时间,因为该流程记住了值的完整轨迹。 另一种方法是按动量法中的方式使用泄漏平均值,即\(\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2\),其中参数\(\gamma > 0\)。 保持所有其它部分不变就产生了RMSProp算法。

11.8.1. 算法

让我们详细写出这些方程式。

(11.8.1)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t. \end{aligned}\end{split}\]

常数\(\epsilon > 0\)通常设置为\(10^{-6}\),以确保我们不会因除以零或步长过大而受到影响。 鉴于这种扩展,我们现在可以自由控制学习率\(\eta\),而不考虑基于每个坐标应用的缩放。 就泄漏平均值而言,我们可以采用与之前在动量法中适用的相同推理。 扩展\(\mathbf{s}_t\)定义可获得

(11.8.2)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{s}_t & = (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{s}_{t-1} \\ & = (1 - \gamma) \left(\mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{g}_{t-1}^2 + \gamma^2 \mathbf{g}_{t-2} + \ldots, \right). \end{aligned}\end{split}\]

同之前在 11.6节小节一样,我们使用\(1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}\)。 因此,权重总和标准化为\(1\)且观测值的半衰期为\(\gamma^{-1}\)。 让我们图像化各种数值的\(\gamma\)在过去40个时间步长的权重。

%matplotlib inline
import math
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
    x = np.arange(40).asnumpy()
    d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
../_images/output_rmsprop_251805_3_0.svg
import math
import torch
from d2l import torch as d2l

d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
    x = torch.arange(40).detach().numpy()
    d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
../_images/output_rmsprop_251805_6_0.svg
import math
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l

d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:
    x = tf.range(40).numpy()
    d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time');
../_images/output_rmsprop_251805_9_0.svg

11.8.2. 从零开始实现

和之前一样,我们使用二次函数\(f(\mathbf{x})=0.1x_1^2+2x_2^2\)来观察RMSProp算法的轨迹。 回想在 11.7节一节中,当我们使用学习率为0.4的Adagrad算法时,变量在算法的后期阶段移动非常缓慢,因为学习率衰减太快。 RMSProp算法中不会发生这种情况,因为\(\eta\)是单独控制的。

def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
    g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
    s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
    s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000
../_images/output_rmsprop_251805_15_1.svg
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
    g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
    s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
    s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000
/home/d2l-worker/miniconda3/envs/d2l-zh-release-1/lib/python3.8/site-packages/torch/functional.py:568: UserWarning: torch.meshgrid: in an upcoming release, it will be required to pass the indexing argument. (Triggered internally at  ../aten/src/ATen/native/TensorShape.cpp:2228.)
  return _VF.meshgrid(tensors, **kwargs)  # type: ignore[attr-defined]
../_images/output_rmsprop_251805_18_1.svg
def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
    g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
    s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
    s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000
../_images/output_rmsprop_251805_21_1.svg

接下来,我们在深度网络中实现RMSProp算法。

def init_rmsprop_states(feature_dim):
    s_w = np.zeros((feature_dim, 1))
    s_b = np.zeros(1)
    return (s_w, s_b)

def rmsprop(params, states, hyperparams):
    gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
    for p, s in zip(params, states):
        s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * np.square(p.grad)
        p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps)
def init_rmsprop_states(feature_dim):
    s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
    s_b = torch.zeros(1)
    return (s_w, s_b)

def rmsprop(params, states, hyperparams):
    gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
    for p, s in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad)
            p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
        p.grad.data.zero_()
def init_rmsprop_states(feature_dim):
    s_w = tf.Variable(tf.zeros((feature_dim, 1)))
    s_b = tf.Variable(tf.zeros(1))
    return (s_w, s_b)

def rmsprop(params, grads, states, hyperparams):
    gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
    for p, s, g in zip(params, states, grads):
        s[:].assign(gamma * s + (1 - gamma) * tf.math.square(g))
        p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps))

我们将初始学习率设置为0.01,加权项\(\gamma\)设置为0.9。 也就是说,\(\mathbf{s}\)累加了过去的\(1/(1-\gamma) = 10\)次平方梯度观测值的平均值。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.244, 0.093 sec/epoch
../_images/output_rmsprop_251805_39_1.svg
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.014 sec/epoch
../_images/output_rmsprop_251805_42_1.svg
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.243, 0.116 sec/epoch
../_images/output_rmsprop_251805_45_1.svg

11.8.3. 简洁实现

我们可直接使用深度学习框架中提供的RMSProp算法来训练模型。

d2l.train_concise_ch11('rmsprop', {'learning_rate': 0.01, 'gamma1': 0.9},
                       data_iter)
loss: 0.243, 0.042 sec/epoch
../_images/output_rmsprop_251805_51_1.svg
trainer = torch.optim.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},
                       data_iter)
loss: 0.247, 0.012 sec/epoch
../_images/output_rmsprop_251805_54_1.svg
trainer = tf.keras.optimizers.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9},
                       data_iter)
loss: 0.244, 0.146 sec/epoch
../_images/output_rmsprop_251805_57_1.svg

11.8.4. 小结

  • RMSProp算法与Adagrad算法非常相似,因为两者都使用梯度的平方来缩放系数。

  • RMSProp算法与动量法都使用泄漏平均值。但是,RMSProp算法使用该技术来调整按系数顺序的预处理器。

  • 在实验中,学习率需要由实验者调度。

  • 系数\(\gamma\)决定了在调整每坐标比例时历史记录的时长。

11.8.5. 练习

  1. 如果我们设置\(\gamma = 1\),实验会发生什么?为什么?

  2. 旋转优化问题以最小化\(f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2\)。收敛会发生什么?

  3. 试试在真正的机器学习问题上应用RMSProp算法会发生什么,例如在Fashion-MNIST上的训练。试验不同的取值来调整学习率。

  4. 随着优化的进展,需要调整\(\gamma\)吗?RMSProp算法对此有多敏感?