.. _sec_adagrad:
AdaGrad算法
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我们从有关特征学习中并不常见的问题入手。
稀疏特征和学习率
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假设我们正在训练一个语言模型。
为了获得良好的准确性，我们大多希望在训练的过程中降低学习率，速度通常为\ :math:`\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})`\ 或更低。
现在讨论关于稀疏特征（即只在偶尔出现的特征）的模型训练，这对自然语言来说很常见。
例如，我们看到“预先条件”这个词比“学习”这个词的可能性要小得多。
但是，它在计算广告学和个性化协同过滤等其他领域也很常见。
只有在这些不常见的特征出现时，与其相关的参数才会得到有意义的更新。
鉴于学习率下降，我们可能最终会面临这样的情况：常见特征的参数相当迅速地收敛到最佳值，而对于不常见的特征，我们仍缺乏足够的观测以确定其最佳值。
换句话说，学习率要么对于常见特征而言降低太慢，要么对于不常见特征而言降低太快。
解决此问题的一个方法是记录我们看到特定特征的次数，然后将其用作调整学习率。
即我们可以使用大小为\ :math:`\eta_i = \frac{\eta_0}{\sqrt{s(i, t) + c}}`\ 的学习率，而不是\ :math:`\eta = \frac{\eta_0}{\sqrt{t + c}}`\ 。
在这里\ :math:`s(i, t)`\ 计下了我们截至\ :math:`t`\ 时观察到功能\ :math:`i`\ 的次数。
这其实很容易实施且不产生额外损耗。
AdaGrad算法
:cite:`Duchi.Hazan.Singer.2011`\ 通过将粗略的计数器\ :math:`s(i, t)`\ 替换为先前观察所得梯度的平方之和来解决这个问题。
它使用\ :math:`s(i, t+1) = s(i, t) + \left(\partial_i f(\mathbf{x})\right)^2`\ 来调整学习率。
这有两个好处：首先，我们不再需要决定梯度何时算足够大。
其次，它会随梯度的大小自动变化。通常对应于较大梯度的坐标会显著缩小，而其他梯度较小的坐标则会得到更平滑的处理。
在实际应用中，它促成了计算广告学及其相关问题中非常有效的优化程序。
但是，它遮盖了AdaGrad固有的一些额外优势，这些优势在预处理环境中很容易被理解。
预处理
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凸优化问题有助于分析算法的特点。
毕竟对大多数非凸问题来说，获得有意义的理论保证很难，但是直觉和洞察往往会延续。
让我们来看看最小化\ :math:`f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x} + \mathbf{c}^\top \mathbf{x} + b`\ 这一问题。
正如在
:numref:`sec_momentum`\ 中那样，我们可以根据其特征分解\ :math:`\mathbf{Q} = \mathbf{U}^\top \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{U}`\ 重写这个问题，来得到一个简化得多的问题，使每个坐标都可以单独解出：
.. math:: f(\mathbf{x}) = \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \frac{1}{2} \bar{\mathbf{x}}^\top \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}}^\top \bar{\mathbf{x}} + b.
在这里我们使用了\ :math:`\mathbf{x} = \mathbf{U} \mathbf{x}`\ ，且因此\ :math:`\mathbf{c} = \mathbf{U} \mathbf{c}`\ 。
修改后优化器为\ :math:`\bar{\mathbf{x}} = -\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}}`\ 且最小值为\ :math:`-\frac{1}{2} \bar{\mathbf{c}}^\top \boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}} + b`\ 。
这样更容易计算，因为\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}`\ 是一个包含\ :math:`\mathbf{Q}`\ 特征值的对角矩阵。
如果稍微扰动\ :math:`\mathbf{c}`\ ，我们会期望在\ :math:`f`\ 的最小化器中只产生微小的变化。
遗憾的是，情况并非如此。
虽然\ :math:`\mathbf{c}`\ 的微小变化导致了\ :math:`\bar{\mathbf{c}}`\ 同样的微小变化，但\ :math:`f`\ 的（以及\ :math:`\bar{f}`\ 的）最小化器并非如此。
每当特征值\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}_i`\ 很大时，我们只会看到\ :math:`\bar{x}_i`\ 和\ :math:`\bar{f}`\ 的最小值发声微小变化。
相反，对小的\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}_i`\ 来说，\ :math:`\bar{x}_i`\ 的变化可能是剧烈的。
最大和最小的特征值之比称为优化问题的\ *条件数*\ （condition number）。
.. math:: \kappa = \frac{\boldsymbol{\Lambda}_1}{\boldsymbol{\Lambda}_d}.
如果条件编号\ :math:`\kappa`\ 很大，准确解决优化问题就会很难。
我们需要确保在获取大量动态的特征值范围时足够谨慎：难道我们不能简单地通过扭曲空间来“修复”这个问题，从而使所有特征值都是\ :math:`1`\ ？
理论上这很容易：我们只需要\ :math:`\mathbf{Q}`\ 的特征值和特征向量即可将问题从\ :math:`\mathbf{x}`\ 整理到\ :math:`\mathbf{z} := \boldsymbol{\Lambda}^{\frac{1}{2}} \mathbf{U} \mathbf{x}`\ 中的一个。
在新的坐标系中，\ :math:`\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}`\ 可以被简化为\ :math:`\|\mathbf{z}\|^2`\ 。
可惜，这是一个相当不切实际的想法。
一般而言，计算特征值和特征向量要比解决实际问题“贵”得多。
虽然准确计算特征值可能会很昂贵，但即便只是大致猜测并计算它们，也可能已经比不做任何事情好得多。
特别是，我们可以使用\ :math:`\mathbf{Q}`\ 的对角线条目并相应地重新缩放它。
这比计算特征值开销小的多。
.. math:: \tilde{\mathbf{Q}} = \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}) \mathbf{Q} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}).
在这种情况下，我们得到了\ :math:`\tilde{\mathbf{Q}}_{ij} = \mathbf{Q}_{ij} / \sqrt{\mathbf{Q}_{ii} \mathbf{Q}_{jj}}`\ ，特别注意对于所有\ :math:`i`\ ，\ :math:`\tilde{\mathbf{Q}}_{ii} = 1`\ 。
在大多数情况下，这大大简化了条件数。
例如我们之前讨论的案例，它将完全消除眼下的问题，因为问题是轴对齐的。
遗憾的是，我们还面临另一个问题：在深度学习中，我们通常情况甚至无法计算目标函数的二阶导数：对于\ :math:`\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d`\ ，即使只在小批量上，二阶导数可能也需要\ :math:`\mathcal{O}(d^2)`\ 空间来计算，导致几乎不可行。
AdaGrad算法巧妙的思路是，使用一个代理来表示黑塞矩阵（Hessian）的对角线，既相对易于计算又高效。
为了了解它是如何生效的，让我们来看看\ :math:`\bar{f}(\bar{\mathbf{x}})`\ 。
我们有
.. math:: \partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\Lambda} \left(\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0\right),
其中\ :math:`\bar{\mathbf{x}}_0`\ 是\ :math:`\bar{f}`\ 的优化器。
因此，梯度的大小取决于\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}`\ 和与最佳值的差值。
如果\ :math:`\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0`\ 没有改变，那这就是我们所求的。
毕竟在这种情况下，梯度\ :math:`\partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}})`\ 的大小就足够了。
由于AdaGrad算法是一种随机梯度下降算法，所以即使是在最佳值中，我们也会看到具有非零方差的梯度。
因此，我们可以放心地使用梯度的方差作为黑塞矩阵比例的廉价替代。
详尽的分析（要花几页解释）超出了本节的范围，请读者参考
:cite:`Duchi.Hazan.Singer.2011`\ 。
算法
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让我们接着上面正式开始讨论。
我们使用变量\ :math:`\mathbf{s}_t`\ 来累加过去的梯度方差，如下所示：
.. math::
\begin{aligned}
\mathbf{g}_t & = \partial_{\mathbf{w}} l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w})), \\
\mathbf{s}_t & = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2, \\
\mathbf{w}_t & = \mathbf{w}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \cdot \mathbf{g}_t.
\end{aligned}
在这里，操作是按照坐标顺序应用。
也就是说，\ :math:`\mathbf{v}^2`\ 有条目\ :math:`v_i^2`\ 。
同样，\ :math:`\frac{1}{\sqrt{v}}`\ 有条目\ :math:`\frac{1}{\sqrt{v_i}}`\ ，
并且\ :math:`\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}`\ 有条目\ :math:`u_i v_i`\ 。
与之前一样，\ :math:`\eta`\ 是学习率，\ :math:`\epsilon`\ 是一个为维持数值稳定性而添加的常数，用来确保我们不会除以\ :math:`0`\ 。
最后，我们初始化\ :math:`\mathbf{s}_0 = \mathbf{0}`\ 。
就像在动量法中我们需要跟踪一个辅助变量一样，在AdaGrad算法中，我们允许每个坐标有单独的学习率。
与SGD算法相比，这并没有明显增加AdaGrad的计算代价，因为主要计算用在\ :math:`l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w}))`\ 及其导数。
请注意，在\ :math:`\mathbf{s}_t`\ 中累加平方梯度意味着\ :math:`\mathbf{s}_t`\ 基本上以线性速率增长（由于梯度从最初开始衰减，实际上比线性慢一些）。
这产生了一个学习率\ :math:`\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})`\ ，但是在单个坐标的层面上进行了调整。
对于凸问题，这完全足够了。
然而，在深度学习中，我们可能希望更慢地降低学习率。
这引出了许多AdaGrad算法的变体，我们将在后续章节中讨论它们。
眼下让我们先看看它在二次凸问题中的表现如何。 我们仍然以同一函数为例：
.. math:: f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2.
我们将使用与之前相同的学习率来实现AdaGrad算法，即\ :math:`\eta = 0.4`\ 。
可以看到，自变量的迭代轨迹较平滑。
但由于\ :math:`\boldsymbol{s}_t`\ 的累加效果使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l
npx.set_np()
def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
eps = 1e-6
g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
s1 += g1 ** 2
s2 += g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
[07:00:31] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_3_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
import torch
from d2l import torch as d2l
def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
eps = 1e-6
g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
s1 += g1 ** 2
s2 += g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_6_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import math
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
eps = 1e-6
g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
s1 += g1 ** 2
s2 += g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_9_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import math
import paddle
def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
eps = 1e-6
g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
s1 += g1 ** 2
s2 += g2 ** 2
x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
return x1, x2, s1, s2
def f_2d(x1, x2):
return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_12_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_18_1.svg
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.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_21_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_24_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_27_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_adagrad_states(feature_dim):
s_w = np.zeros((feature_dim, 1))
s_b = np.zeros(1)
return (s_w, s_b)
def adagrad(params, states, hyperparams):
eps = 1e-6
for p, s in zip(params, states):
s[:] += np.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_adagrad_states(feature_dim):
s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
s_b = torch.zeros(1)
return (s_w, s_b)
def adagrad(params, states, hyperparams):
eps = 1e-6
for p, s in zip(params, states):
with torch.no_grad():
s[:] += torch.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
p.grad.data.zero_()
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_adagrad_states(feature_dim):
s_w = tf.Variable(tf.zeros((feature_dim, 1)))
s_b = tf.Variable(tf.zeros(1))
return (s_w, s_b)
def adagrad(params, grads, states, hyperparams):
eps = 1e-6
for p, s, g in zip(params, states, grads):
s[:].assign(s + tf.math.square(g))
p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps))
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_adagrad_states(feature_dim):
s_w = paddle.zeros((feature_dim, 1))
s_b = paddle.zeros(shape=(1, ))
return (s_w, s_b)
def adagrad(params, states, hyperparams):
a = []
eps = 1e-6
for p, s in zip(params, states):
with paddle.no_grad():
s[:] += paddle.square(p.grad)
p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / paddle.sqrt(s + eps)
p.grad.zero_()
a.append(p)
return a
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
{'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.242, 0.080 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_48_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
{'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.242, 0.012 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_51_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
{'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.242, 0.107 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_54_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
{'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim);
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.243, 0.045 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_57_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
d2l.train_concise_ch11('adagrad', {'learning_rate': 0.1}, data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.244, 0.072 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_63_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
trainer = torch.optim.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.1}, data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.242, 0.013 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_66_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
trainer = tf.keras.optimizers.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate' : 0.1}, data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.242, 0.102 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_69_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
trainer = paddle.optimizer.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.1}, data_iter)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
loss: 0.243, 0.030 sec/epoch
.. figure:: output_adagrad_2fb0ed_72_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: html
`Discussions `__
.. raw:: html
.. raw:: html
`Discussions `__
.. raw:: html
.. raw:: html
`Discussions `__
.. raw:: html
.. raw:: html
`Discussions `__
.. raw:: html
.. raw:: html