.. _sec_weight_decay:
权重衰减
========
前一节我们描述了过拟合的问题,本节我们将介绍一些正则化模型的技术。
我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。
但这可能成本很高,耗时颇多,或者完全超出我们的控制,因而在短期内不可能做到。
假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据,我们便可以将重点放在正则化技术上。
回想一下,在多项式回归的例子( :numref:`sec_model_selection`\ )中,
我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。
实际上,限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。
然而,简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。
我们继续思考多项式回归的例子,考虑高维输入可能发生的情况。
多项式对多变量数据的自然扩展称为\ *单项式*\ (monomials),
也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。
例如,\ :math:`x_1^2 x_2`\ 和\ :math:`x_3 x_5^2`\ 都是3次单项式。
注意,随着阶数\ :math:`d`\ 的增长,带有阶数\ :math:`d`\ 的项数迅速增加。
给定\ :math:`k`\ 个变量,阶数为\ :math:`d`\ 的项的个数为
:math:`{k - 1 + d} \choose {k - 1}`\ ,即\ :math:`C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}`\ 。
因此即使是阶数上的微小变化,比如从\ :math:`2`\ 到\ :math:`3`\ ,也会显著增加我们模型的复杂性。
仅仅通过简单的限制特征数量(在多项式回归中体现为限制阶数),可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊,
我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性,使其达到一个合适的平衡位置。
## 范数与权重衰减
在 :numref:`subsec_lin-algebra-norms`\ 中,
我们已经描述了\ :math:`L_2`\ 范数和\ :math:`L_1`\ 范数,
它们是更为一般的\ :math:`L_p`\ 范数的特殊情况。
在训练参数化机器学习模型时, *权重衰减*\ (weight
decay)是最广泛使用的正则化的技术之一,
它通常也被称为\ :math:`L_2`\ *正则化*\ 。
这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度,
因为在所有函数\ :math:`f`\ 中,函数\ :math:`f = 0`\ (所有输入都得到值\ :math:`0`\ )
在某种意义上是最简单的。
但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢?
没有一个正确的答案。
事实上,函数分析和巴拿赫空间理论的研究,都在致力于回答这个问题。
一种简单的方法是通过线性函数
:math:`f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}`
中的权重向量的某个范数来度量其复杂性,
例如\ :math:`\| \mathbf{w} \|^2`\ 。 要保证权重向量比较小,
最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。
将原来的训练目标\ *最小化训练标签上的预测损失*\ ,
调整为\ *最小化预测损失和惩罚项之和*\ 。
现在,如果我们的权重向量增长的太大,
我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数\ :math:`\| \mathbf{w} \|^2`\ 。
这正是我们想要的。 让我们回顾一下
:numref:`sec_linear_regression`\ 中的线性回归例子。
我们的损失由下式给出:
.. math:: L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.
回想一下,\ :math:`\mathbf{x}^{(i)}`\ 是样本\ :math:`i`\ 的特征,
:math:`y^{(i)}`\ 是样本\ :math:`i`\ 的标签,
:math:`(\mathbf{w}, b)`\ 是权重和偏置参数。 为了惩罚权重向量的大小,
我们必须以某种方式在损失函数中添加\ :math:`\| \mathbf{w} \|^2`\ ,
但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失?
实际上,我们通过\ *正则化常数*\ :math:`\lambda`\ 来描述这种权衡,
这是一个非负超参数,我们使用验证数据拟合:
.. math:: L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2,
对于\ :math:`\lambda = 0`\ ,我们恢复了原来的损失函数。
对于\ :math:`\lambda > 0`\ ,我们限制\ :math:`\| \mathbf{w} \|`\ 的大小。
这里我们仍然除以\ :math:`2`\ :当我们取一个二次函数的导数时,
:math:`2`\ 和\ :math:`1/2`\ 会抵消,以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。
为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数(即欧几里得距离)?
我们这样做是为了便于计算。
通过平方\ :math:`L_2`\ 范数,我们去掉平方根,留下权重向量每个分量的平方和。
这使得惩罚的导数很容易计算:导数的和等于和的导数。
此外,为什么我们首先使用\ :math:`L_2`\ 范数,而不是\ :math:`L_1`\ 范数。
事实上,这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。
:math:`L_2`\ 正则化线性模型构成经典的\ *岭回归*\ (ridge
regression)算法, :math:`L_1`\ 正则化线性回归是统计学中类似的基本模型,
通常被称为\ *套索回归*\ (lasso regression)。
使用\ :math:`L_2`\ 范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。
这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。
在实践中,这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。
相比之下,\ :math:`L_1`\ 惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上,
而将其他权重清除为零。 这称为\ *特征选择*\ (feature
selection),这可能是其他场景下需要的。
使用与 :eq:`eq_linreg_batch_update`\ 中的相同符号,
:math:`L_2`\ 正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式:
.. math::
\begin{aligned}
\mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right).
\end{aligned}
根据之前章节所讲的,我们根据估计值与观测值之间的差异来更新\ :math:`\mathbf{w}`\ 。
然而,我们同时也在试图将\ :math:`\mathbf{w}`\ 的大小缩小到零。
这就是为什么这种方法有时被称为\ *权重衰减*\ 。
我们仅考虑惩罚项,优化算法在训练的每一步\ *衰减*\ 权重。
与特征选择相比,权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。
较小的\ :math:`\lambda`\ 值对应较少约束的\ :math:`\mathbf{w}`\ ,
而较大的\ :math:`\lambda`\ 值对\ :math:`\mathbf{w}`\ 的约束更大。
是否对相应的偏置\ :math:`b^2`\ 进行惩罚在不同的实践中会有所不同,
在神经网络的不同层中也会有所不同。
通常,网络输出层的偏置项不会被正则化。
高维线性回归
------------
我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
from mxnet import autograd, gluon, init, np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l
npx.set_np()
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
%matplotlib inline
import warnings
from d2l import paddle as d2l
warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle
from paddle import nn
.. raw:: html
.. raw:: html
首先,我们像以前一样生成一些数据,生成公式如下:
.. math::
y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where }
\epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2).
我们选择标签是关于输入的线性函数。
标签同时被均值为0,标准差为0.01高斯噪声破坏。
为了使过拟合的效果更加明显,我们可以将问题的维数增加到\ :math:`d = 200`\ ,
并使用一个只包含20个样本的小训练集。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = np.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
[07:16:43] ../src/storage/storage.cc:196: Using Pooled (Naive) StorageManager for CPU
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = tf.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = paddle.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
.. raw:: html
.. raw:: html
从零开始实现
------------
下面我们将从头开始实现权重衰减,只需将\ :math:`L_2`\ 的平方惩罚添加到原始目标函数中。
初始化模型参数
~~~~~~~~~~~~~~
首先,我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_params():
w = np.random.normal(scale=1, size=(num_inputs, 1))
b = np.zeros(1)
w.attach_grad()
b.attach_grad()
return [w, b]
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_params():
w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
return [w, b]
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_params():
w = tf.Variable(tf.random.normal(mean=1, shape=(num_inputs, 1)))
b = tf.Variable(tf.zeros(shape=(1, )))
return [w, b]
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def init_params():
w = paddle.normal(0, 1, shape=(num_inputs, 1))
w.stop_gradient = False
b = paddle.zeros(shape=[1])
b.stop_gradient = False
return [w, b]
.. raw:: html
.. raw:: html
定义\ :math:`L_2`\ 范数惩罚
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def l2_penalty(w):
return (w**2).sum() / 2
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def l2_penalty(w):
return torch.sum(w.pow(2)) / 2
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def l2_penalty(w):
return tf.reduce_sum(tf.pow(w, 2)) / 2
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def l2_penalty(w):
return paddle.sum(w.pow(2)) / 2
.. raw:: html
.. raw:: html
定义训练代码实现
~~~~~~~~~~~~~~~~
下面的代码将模型拟合训练数据集,并在测试数据集上进行评估。 从
:numref:`chap_linear`\ 以来,线性网络和平方损失没有变化,
所以我们通过\ ``d2l.linreg``\ 和\ ``d2l.squared_loss``\ 导入它们。
唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
with autograd.record():
# 增加了L2范数惩罚项,
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
l.backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是:', np.linalg.norm(w))
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
# 增加了L2范数惩罚项,
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
l.sum().backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是:', torch.norm(w).item())
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
with tf.GradientTape() as tape:
# 增加了L2范数惩罚项,
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
grads = tape.gradient(l, [w, b])
d2l.sgd([w, b], grads, lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是:', tf.norm(w).numpy())
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter():
# 增加了L2范数惩罚项,
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为`batch_size`的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
l.sum().backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是:', paddle.norm(w).item())
.. raw:: html
.. raw:: html
忽略正则化直接训练
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
我们现在用\ ``lambd = 0``\ 禁用权重衰减后运行这个代码。
注意,这里训练误差有了减少,但测试误差没有减少,
这意味着出现了严重的过拟合。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 13.259393
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_78_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 12.963241577148438
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_81_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 19.007175
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_84_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 13.146681785583496
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_87_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
使用权重衰减
~~~~~~~~~~~~
下面,我们使用权重衰减来运行代码。
注意,在这里训练误差增大,但测试误差减小。
这正是我们期望从正则化中得到的效果。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 0.382492
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_93_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 0.3556520938873291
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_96_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 0.5016338
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_99_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train(lambd=3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数是: 0.4087049961090088
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_102_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
简洁实现
--------
由于权重衰减在神经网络优化中很常用,
深度学习框架为了便于我们使用权重衰减,
将权重衰减集成到优化算法中,以便与任何损失函数结合使用。
此外,这种集成还有计算上的好处,
允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。
由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值,
因此优化器必须至少接触每个参数一次。
.. raw:: html
.. raw:: html
在下面的代码中,我们在实例化\ ``Trainer``\ 时直接通过\ ``wd``\ 指定weight
decay超参数。 默认情况下,Gluon同时衰减权重和偏置。
注意,更新模型参数时,超参数\ ``wd``\ 将乘以\ ``wd_mult``\ 。
因此,如果我们将\ ``wd_mult``\ 设置为零,则偏置参数\ :math:`b`\ 将不会被衰减。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train_concise(wd):
net = nn.Sequential()
net.add(nn.Dense(1))
net.initialize(init.Normal(sigma=1))
loss = gluon.loss.L2Loss()
num_epochs, lr = 100, 0.003
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
{'learning_rate': lr, 'wd': wd})
# 偏置参数没有衰减。偏置名称通常以“bias”结尾
net.collect_params('.*bias').setattr('wd_mult', 0)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
with autograd.record():
l = loss(net(X), y)
l.backward()
trainer.step(batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数:', np.linalg.norm(net[0].weight.data()))
.. raw:: html
.. raw:: html
在下面的代码中,我们在实例化优化器时直接通过\ ``weight_decay``\ 指定weight
decay超参数。 默认情况下,PyTorch同时衰减权重和偏移。
这里我们只为权重设置了\ ``weight_decay``\ ,所以偏置参数\ :math:`b`\ 不会衰减。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train_concise(wd):
net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
for param in net.parameters():
param.data.normal_()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
num_epochs, lr = 100, 0.003
# 偏置参数没有衰减
trainer = torch.optim.SGD([
{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[0].bias}], lr=lr)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
trainer.zero_grad()
l = loss(net(X), y)
l.mean().backward()
trainer.step()
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1,
(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数:', net[0].weight.norm().item())
.. raw:: html
.. raw:: html
在下面的代码中,我们使用权重衰减超参数\ ``wd``\ 创建一个\ :math:`L_2`\ 正则化器,
并通过\ ``kernel_regularizer``\ 参数将其应用于网络层。
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train_concise(wd):
net = tf.keras.models.Sequential()
net.add(tf.keras.layers.Dense(
1, kernel_regularizer=tf.keras.regularizers.l2(wd)))
net.build(input_shape=(1, num_inputs))
w, b = net.trainable_variables
loss = tf.keras.losses.MeanSquaredError()
num_epochs, lr = 100, 0.003
trainer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
with tf.GradientTape() as tape:
# tf.keras需要为自定义训练代码手动添加损失。
l = loss(net(X), y) + net.losses
grads = tape.gradient(l, net.trainable_variables)
trainer.apply_gradients(zip(grads, net.trainable_variables))
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数:', tf.norm(net.get_weights()[0]).numpy())
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
def train_concise(wd):
weight_attr = paddle.framework.ParamAttr(initializer=paddle.nn.initializer.Normal(mean=0.0, std=1.0))
bias_attr = paddle.framework.ParamAttr(initializer=paddle.nn.initializer.Normal(mean=0.0, std=1.0))
net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1, weight_attr=weight_attr, bias_attr=bias_attr))
loss = nn.MSELoss()
num_epochs, lr = 100, 0.003
# 偏置参数没有衰减。
trainer = paddle.optimizer.SGD(parameters=net[0].parameters(), learning_rate=lr, weight_decay=wd*1.0)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
l = loss(net(X), y)
l.backward()
trainer.step()
trainer.clear_grad()
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数:', net[0].weight.norm().item())
.. raw:: html
.. raw:: html
这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。
然而,它们运行得更快,更容易实现。
对于更复杂的问题,这一好处将变得更加明显。
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 15.0140705
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_126_1.svg
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 0.33991918
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_127_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 13.727912902832031
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_130_1.svg
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 0.3890590965747833
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_131_1.svg
.. raw:: html
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.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 1.2166762
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_134_1.svg
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 0.03246628
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_135_1.svg
.. raw:: html
.. raw:: html
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(0)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 13.261183738708496
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_138_1.svg
.. raw:: latex
\diilbookstyleinputcell
.. code:: python
train_concise(3)
.. raw:: latex
\diilbookstyleoutputcell
.. parsed-literal::
:class: output
w的L2范数: 0.3603070080280304
.. figure:: output_weight-decay_ec9cc0_139_1.svg
.. raw:: html
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到目前为止,我们只接触到一个简单线性函数的概念。
此外,由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。
例如,\ `再生核希尔伯特空间(RKHS) `__
允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。
不幸的是,基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。
在这本书中,我们将默认使用简单的启发式方法,即在深层网络的所有层上应用权重衰减。
小结
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- 正则化是处理过拟合的常用方法:在训练集的损失函数中加入惩罚项,以降低学习到的模型的复杂度。
- 保持模型简单的一个特别的选择是使用\ :math:`L_2`\ 惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
- 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
- 在同一训练代码实现中,不同的参数集可以有不同的更新行为。
练习
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1. 在本节的估计问题中使用\ :math:`\lambda`\ 的值进行实验。绘制训练和测试精度关于\ :math:`\lambda`\ 的函数。观察到了什么?
2. 使用验证集来找到最佳值\ :math:`\lambda`\ 。它真的是最优值吗?这有关系吗?
3. 如果我们使用\ :math:`\sum_i |w_i|`\ 作为我们选择的惩罚(\ :math:`L_1`\ 正则化),那么更新方程会是什么样子?
4. 我们知道\ :math:`\|\mathbf{w}\|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}`\ 。能找到类似的矩阵方程吗(见
:numref:`subsec_lin-algebra-norms` 中的Frobenius范数)?
5. 回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型之外,还能想出其他什么方法来处理过拟合?
6. 在贝叶斯统计中,我们使用先验和似然的乘积,通过公式\ :math:`P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)`\ 得到后验。如何得到带正则化的\ :math:`P(w)`\ ?
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`Discussions `__
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`Discussions `__
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`Discussions `__
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`Discussions `__
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